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從等比數(shù)列的加減乘除談起
時(shí)間:2024-01-15 作者:郭凱
  又到了期末考試的季節(jié)。俗話說“雞娃不如雞自己”。在做題能力和反應(yīng)速度已經(jīng)完全沒法輔導(dǎo)孩子的情況下,只能偷偷借用Excel來做最簡(jiǎn)單的加減乘除,還不能讓孩子知道,畢竟孩子用小猿搜題來做作業(yè)一直不被允許。

  最近在思考美國(guó)股票估值的問題,我學(xué)過的唯一的估值模型就是現(xiàn)金流(盈利、分紅)貼現(xiàn)的模型,我為數(shù)不多熟悉的變量其實(shí)也只是一些最簡(jiǎn)單的宏觀變量,比如說利率、增長(zhǎng)率和通脹等。好在這些知識(shí)和變量與我使用Excel的初等技能高度匹配(從另一個(gè)角度說,這意味著Microsoft的Copilot應(yīng)該會(huì)賣得很好)。

  作為一點(diǎn)聲明:我完全不了解美國(guó)股票,也完全不懂股票投資,做下面這些運(yùn)算的目的完全是為了復(fù)習(xí)一下初中數(shù)學(xué)。

  基本變量

  考慮以下五個(gè)基本變量:

  g,表示實(shí)際經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)率,體現(xiàn)的是產(chǎn)量的增加。

  π,表示通貨膨脹率,體現(xiàn)的是價(jià)格的增加(或者下降)。

  i,表示名義利率,是無風(fēng)險(xiǎn)的名義利率。

  rp,表示股票風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)。

  tot,表示貿(mào)易條件,體現(xiàn)的是(出口)成品價(jià)和(進(jìn)口)原材料的比例。

  基準(zhǔn)情形

  設(shè)置基準(zhǔn)情形的目的是提供一個(gè)基準(zhǔn),以便于和別的不同情形進(jìn)行對(duì)比。思考美國(guó)股票估值,那基準(zhǔn)情形就必須選合理的美國(guó)數(shù)據(jù)。

  我決定設(shè)定g=2.5%,這大致是美國(guó)2023年的經(jīng)濟(jì)增速,也接近美國(guó)的長(zhǎng)期經(jīng)濟(jì)增速;π=3%,基本就是當(dāng)下美國(guó)的通脹水平;i=4%,基本就是美國(guó)十年期國(guó)債的利率水平(略低于短期國(guó)債的利率水平);rp=6%,是一個(gè)文獻(xiàn)中較多使用的股票風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià);tot=1,假設(shè)貿(mào)易條件一直維持穩(wěn)定。

  如果把股票價(jià)格想象成盈利從當(dāng)期到無窮遠(yuǎn)的貼現(xiàn)值,就可以通過計(jì)算一個(gè)等比數(shù)列的加法,并做一些乘除法計(jì)算出來市盈率(PE)的合理估值。

  代入上述的這些基準(zhǔn)情形下的指標(biāo),我計(jì)算出來的美國(guó)股票合理估值的PE大約應(yīng)該是24.4。我順便查了一下美國(guó)實(shí)際的數(shù)據(jù),2024年1月11日的標(biāo)普500的PE值為24.8。所以,基準(zhǔn)情形參數(shù)的選取似乎可以和現(xiàn)在美國(guó)股票的整體估值對(duì)的上。

  這是一件挺好的事情,一方面說明加減乘除做得可能沒錯(cuò),另一方面比較其它的估值情形也有了真實(shí)可以對(duì)比的數(shù)據(jù),這個(gè)簡(jiǎn)單模型里的市盈率是和真實(shí)世界的市盈率大致可比的。

  情形1:正常增長(zhǎng)、通貨緊縮情形

  這種情形是假設(shè)美國(guó)仍然保持正常增長(zhǎng),但陷入了通貨緊縮,而利率并沒有跟進(jìn)調(diào)整。雖然這個(gè)假設(shè)高度不合理,但考慮這個(gè)情形的目的是為了看一下通貨緊縮和利率不跟進(jìn)調(diào)整對(duì)估值可能的影響。

  這種情形下,仍然假設(shè)g=2.5%不變;π=-2%,也就是通縮緊縮2%;i=4%,名義利率與基準(zhǔn)情形一樣;rp=6%,tot=1。

  這樣的情形下,算出來的美國(guó)股票的PE應(yīng)該為11.6。由此可見,由通脹轉(zhuǎn)為通縮,對(duì)股票估值的殺傷力是巨大的。通脹下行5個(gè)百分點(diǎn),如果名義利率不跟進(jìn),即使銷售量繼續(xù)保持原來的增長(zhǎng),估值也會(huì)僅為不到基準(zhǔn)情形下的一半,也就是股票估值的中樞要下降50%略多。

  情形2:正常增長(zhǎng)、通貨緊縮、風(fēng)險(xiǎn)厭惡和利率溫和調(diào)整的情形

  很難想象在美國(guó)陷入通貨緊縮的情況下,名義利率會(huì)完全不調(diào)整。但可以想象一種情形,就是美聯(lián)儲(chǔ)出于各種原因,并沒有勇敢大幅降息,而是重新犯了真實(shí)票據(jù)理論的錯(cuò)誤,或者是把泰勒規(guī)則的系數(shù)設(shè)定為一個(gè)小于1的數(shù)(詳見《被遺忘的真實(shí)票據(jù)理論和少受關(guān)注的泰勒法則系數(shù)——兩道宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)開卷試題》),對(duì)此市場(chǎng)的悲觀情緒有所上升,風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)相應(yīng)增加。

  這種情形下,仍然假設(shè)g=2.5%,π=-2%不變;i=3%,名義利率僅比基準(zhǔn)情形下降1個(gè)百分點(diǎn);rp=8%,風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)比基準(zhǔn)情形上升2個(gè)百分點(diǎn);tot=1。

  這樣的情形下,算出來的美國(guó)股票的PE會(huì)進(jìn)一步下降至10.6,估值僅約為基準(zhǔn)情形的40%。

  情形3:通貨緊縮螺旋、恐慌蔓延和利率調(diào)整的情形

  上述情形的不合理之處在于并未考慮通貨緊縮對(duì)美國(guó)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的影響,現(xiàn)在假設(shè)通縮影響美國(guó)的經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng),同時(shí)進(jìn)一步加劇了通貨緊縮,并引發(fā)市場(chǎng)恐慌,風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)上升,與此同時(shí)美聯(lián)儲(chǔ)開始激進(jìn)降息至0。

  這種情形下,假設(shè)g=0%,π=-4%,i=0%,rp=10%,tot=1,通脹比基準(zhǔn)情形下降 7 個(gè)百分點(diǎn),也就是通貨緊縮 4%,名義利率比基準(zhǔn)情形下降4個(gè)百分點(diǎn),風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)比基準(zhǔn)情形上升4個(gè)百分點(diǎn)。

  這當(dāng)然已經(jīng)是一種非常極端的情形,在這種情況下,美國(guó)股票的PE會(huì)降到7.8附近,僅為基準(zhǔn)情形的30%略多。

  情形4:通貨緊縮螺旋、恐慌蔓延、利率調(diào)整和卷出口的情形

  可以想象,如果美國(guó)真的出現(xiàn)了較為嚴(yán)重的通貨緊縮,其出口競(jìng)爭(zhēng)力會(huì)有所提升。而且在美國(guó)國(guó)內(nèi)需求較弱的情況下,其企業(yè)會(huì)加大出口力度。這樣的結(jié)果一方面是對(duì)增長(zhǎng)有所拉動(dòng),但同時(shí)其貿(mào)易條件會(huì)有所惡化,也就是出口產(chǎn)品價(jià)格相對(duì)于進(jìn)口商品價(jià)格會(huì)逐步走低,影響企業(yè)的利潤(rùn)。

  這種情形下,假設(shè)g=1%,π=-4%,i=0%,rp=10%,tot=0.98。這種情形和情形3的差別就在于經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)情況要更好一點(diǎn),高一個(gè)百分點(diǎn),但貿(mào)易條件會(huì)按2%的速度惡化。

  在這種情況下,美國(guó)股票的PE會(huì)降到7.3附近,僅為基準(zhǔn)情形的30%,比情形3還要再低約7%。

  情形5:低增長(zhǎng)、溫和通脹、恐慌和低利率情形

  換一種情況考慮,假設(shè)美國(guó)處于低增長(zhǎng)中,同時(shí)也存在嚴(yán)重的恐慌,但利率保持低位,同時(shí)處于溫和的通脹中。

  這種情形下,假設(shè)g=0%,π=2%,i=0%,rp=10%,tot=1。這種情形和情形3的差別就在于通脹不是-4%,而是2%。

  在這種情況下,美國(guó)股票的PE會(huì)在13.8附近,是基準(zhǔn)情形的56%,但比情形3要高75%,比情形1也要高接近20%。

  情形6:低增長(zhǎng)、溫和通脹、低利率情形

  再換一種情況考慮,假設(shè)美國(guó)處于低增長(zhǎng)中,通脹溫和,但因?yàn)槁?lián)儲(chǔ)及時(shí)降息,使得市場(chǎng)的恐慌情緒消散。

  這種情形下,假設(shè)g=0%,π=2%,i=0%,rp=6%,tot=1。這種情形和情形5的差別就在于風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)不是10%,而是6%。

  在這種情況下,美國(guó)股票的PE會(huì)在26.5附近,比基準(zhǔn)情形還要高8%。情形6的經(jīng)濟(jì)表現(xiàn)是要絕對(duì)弱于基準(zhǔn)情形的,基準(zhǔn)情形正增長(zhǎng),而情形6增長(zhǎng)為0,但其股票估值卻要高于基準(zhǔn)情形。所以,“股市是經(jīng)濟(jì)的晴雨表”并非一個(gè)100%精確的說法。

  情形7:高增長(zhǎng)、通貨緊縮和溫和利率的情形

  現(xiàn)在再考慮一種新情況,假設(shè)美國(guó)處于高增長(zhǎng),通貨緊縮,為此美聯(lián)儲(chǔ)也沒有動(dòng)力大幅降息,原因是實(shí)際增長(zhǎng)速度很高。

  這種情形下,假設(shè)g=4%,π=-4%,i=3%,rp=6%,tot=1。這種情形比基準(zhǔn)情形的增長(zhǎng)率高接近一倍,但通貨緊縮要嚴(yán)重很多,利率僅低1個(gè)百分點(diǎn)。

  在這種情況下,美國(guó)股票的PE會(huì)僅為12左右,正好是基準(zhǔn)情形的一半。一個(gè)更高增長(zhǎng)、更低利率但通縮的美國(guó)股市估值,只有一個(gè)更低增長(zhǎng)、更高利率但通脹的美國(guó)股市估值的一半。

  情形8:較高增長(zhǎng)、通貨緊縮、溫和利率和風(fēng)險(xiǎn)厭惡的情形
  ……


本文節(jié)選自《初中數(shù)學(xué)期末考試復(fù)習(xí):等比數(shù)列的加減乘除方》,作者郭凱系中國(guó)金融四十人研究院高級(jí)研究員。微信掃碼可閱讀完整文章。
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